関数の基本知識(数学Ⅰ・二次関数)

 関数の基本知識(数学Ⅰ・二次関数)

 2つの変数xとyが,互いに関係なくばらばらに動くのではなく,xの値に応じてyの値が決まるとき,yはxの関数であるという.
 以下では,関数の考え方を確認し,関数にまつわる基本的な用語について学んでいく.


【1】関数とは何か

3Lの水が入っている水槽の中に毎分2Lの割合で水を入れたとする。
水を入れてから経過した時間がx分とすると、水槽の中の水の量yLは
y=2x+3
と表すことができる。

 

 

また、正方形の一辺の長さをxcmとすると、その面積y㎠は、

と計算することができる。


 このように、「xの値を決めるとそれに応じて yの値がただ1つだけ決まる」とき、yはxの関数 (function) であるという。

 yがxの関数であるということを、一般的にy=f(x)などと表す。

 関数y=f(x)において、xの値が aであるとき、対応する yの値を f(a)で表し、 f(a)x=aのときの関数 f(x)の値という。


【2】関数をグラフで表すということ

 座標平面は、座標軸によって4つの部分に分けられる。

これらを上図のように、それぞれ

x>0、y>0 :第一象限 (firstquadrant)
x<0、y>0 :第二象限 (secondquadrant)
x<0、y<0 :第三象限 (thirdquadrant)
x>0、y<0 :第四象限 (fourthquadrant)

という。
※座標軸はどの象限(しょうげん)にも含めない。

 次に、関数y=f(x)を座標平面に図示することを考えよう。

 たとえば、関数 y=x+2 を図示するには、y=x+2を満たす値の組 (x, y)を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

 同様に、関数を図示するには、を満たす値の組 (x, y)を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。


 一般に、関数 y=f(x)において、x の値それに対応する yの値の組 (x, y)を座標とする点全体の作る座標平面上の図形を、関数 y=f(x)のグラフ (graph) という。

例1) y=x+2のグラフ

例2) のグラフ

 


【3】定義域とは何か

 数 y=f(x)において、x のとる値の範囲を、この関数の定義域 (domain) という。定義域をはっきりと示す場合には、関数とともに
y=f(x) (a≦x≦b)

などと書く。

y=x+2の定義域の図


 たとえば、関数y=x+2において、xのとる値の範囲、すなわち定義域を −1≦x≦3とするとき
y=x+2 (−1≦x≦3)と表す。ただし、関数においてその定義域が特に示されていない場合には、その関数が意味を持つ範囲ですべての
xの値を考える。

 たとえば、

y=x+2

とだけ書かれていた場合には、定義域はすべての実数であり、また

とだけ書かれていた場合には、0での除法は意味をなさないので、定義域は 0以外のすべての実数である。


【4】値域と最大値・最小値

関数 y=f(x)において、xが定義域すべての値をとるときの yのとる値の範囲を、この関数の値域 (range) という。

定義域と値域の関係の図

 たとえば、関数 y=x+2 (−1≦x≦3)値域は、上のグラフからわかるように 1≦y≦5 となる。

 このように、関数において、その値域に最も大きい値があるとき、その値をこの関数の最大値 (maximumvalue) といい、その値域に最も小さい値があるとき、その値をこの関数の最小値 (minimumvalue) という。

 


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