1次関数とそのグラフ(数学Ⅰ・二次関数)

1次関数とそのグラフ(数学Ⅰ・二次関数)

 ここでは、1次関数のグラフの描き方について復習していこう。中学で学習済みの内容ではあるが、2次関数のグラフを書くために必要な視点から、まとめておく。


【1】1次関数の定義

1次関数の定義
関数 f(x)が xの1次式で表されるとき、つまり、a(≠0)、bを定数として
f(x)=ax+b
の形で表されるとき、f(x)は xの1次関数 (linear function) であるという。

関数 f(x)が xの1次式で表されるとき、つまり、a(≠0)、bを定数として
f(x)=ax+b
の形で表されるとき、f(x)は xの1次関数 (linearfunction) であるという。

 たとえば、以下のxの関数 f(x)は、すべて1次関数である。


【2】y=axのグラフ

 1次関数 y=ax+bにおいて、まずは b=0の場合、つまり y=axのグラフについて考えてみよう。このタイプのグラフは次のような特徴があった。

Ⅰ)原点を通る直線である。

Ⅱ)a>0のときxが増加するとき、y も増加するため、グラフは右上がり
aが大きいほど、右上がりは急

a>0のグラフ

a<0のときxが増加するとき、yは減少するため、グラフは右下がり
|a|が大きいほど、右下がりは急

 

a<0のグラフ

 直線の(x軸に対する)傾き具合を決める、a の値を傾き (slope) という。

 傾き aは「x が 1増加したときの yの増加量」になっている。
a が負のときは yの増加量が負になり、y は減少していることになる。


【3】y=ax+bのグラフ

 次に、一般の1次関数y=ax+bのグラフについて考えてみよう。


【4】y=a(x−p)のグラフ 


【5】y=a(x−p)+qのグラフ

最後に、y=a(x−p)の右辺に qを加えた
y=a(x−p)+q
という形をした1次関数のグラフについて考えてみよう。

 たとえば y=2(x−3)+1のグラフについて考えてみよう。これは、y=2xのグラフを x軸方向に 3平行移動した
y=2(x−3)のグラフを、さらに y軸方向に 1平行移動した
y=2(x−3)+1のグラフを表している。
 また、y=2(x−3)+1 のグラフは、原点より x軸方向に 3大きく、y軸方向に 1大きい点 (3, 1)を通ることがわかる。

 

 「1次関数 y=ax+bのグラフ」のことを「直線 y=ax+b」ということがある。このときの y=ax+bは、直線の方程式 (equation of line) といわれる。


《確認問題》

 次の1次関数のグラフはすべて、y=2x のグラフを平行移動してできる。それぞれ、x 軸方向、y 軸方向にいくつ平行移動が行われたのか、式の形から読み取れ。また、それぞれのグラフを座標平面上に描け。

(1) y=2(x+2)

(2) y=2(x+3)−1

 

 

《確認問題の答え》

(1) y=2{x−(−2)}であるので、y=2x のグラフを x軸方向に −2平行移動したグラフである。座標平面上に表すと図のようになる。

(2) y=2{x−(−3)}−1であるので、y=2x のグラフを x軸方向に −3平行移動し、y 軸方向に −1平行移動したグラフである。座標平面上に表すと図のようになる。

 


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